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               Le nombre d'or étant pour certains une religion, on comprendra que cet article puisse faire polémique. A ma décharge il était impossible de faire l'impasse sur cette question.
 
 
 

Gothique et nombre d'or


      La géométrie spéculative a ses jeux, ses inutilités, comme les autres sciences.

Châteaubriant


Dans la page précédente, j'ai invalidé la pertinence des seules mathématiques dans l'analyse des tracés gothiques. En toute logique cette démarche exclut l'usage du nombre d'or. En effet, si la proportion dorée peut s'exprimer géométriquement, il demeure que son interprétation, l'idée même de sa singularité en tant que nombre irrationnel, la place directement dans le giron des mathématiques. Or, n'est-il pas universellement admis que le nombre d'or dirige le plan des cathédrales ? 

Commençons par un petit rappel à l'usage de ceux qui connaissent mal ce rapport. On le représente par la lettre grecque Phi de symbole φ. Sa valeur numérique, 1,618 offre de bien curieuses propriétés mathématiques :

φ – 1 = 0.618 
1/ φ = 0,618
φ = 1,618  
φ + 1 = 2,618
φ / 0,618 = 2,618  
φ x φ = 2,618
0,2618*12  = 3,1416   

On peut obtenir ce rapport grâce à des tracés géométriques très simples. Par exemple celui de la figure 1. En effet, il suffit de déterminer la moitié de la base d'un carré, soit le point M, afin de tracer un arc de cercle de rayon MD qui coupe le prolongement de la ligne en C.
Le rapport entre les segments AB et AC donne φ, soit le nombre d'or. Le rectangle que l'on vient de former exprime un rectangle doré tout comme l'ensemble de la figure. Nous allons retrouver ce même tracé d'ici quelques lignes.


Fig. 1 - Construction géométrique du nombre d'or

Le nombre d'or est mis à toutes les sauces. Il est censé fournir la plus belle proportion esthétique, régler la croissance de nos gènes ou diriger les dimensions de la pyramide de khéops. Rien de moins.

Mais historiquement qu’en est-il ? Il est souvent affirmé que Pythagore en détenait le secret. C’est oublier un peu vite que le nombre d’or est un nombre irrationnel. Limité aux entiers, Pythagore les tenait en horreur. Ils remettaient en cause son interprétation géométrique du monde, dans laquelle tout nombre est une longueur. Même s'ils existent, personne ne devait en connaître l’existence. La légende dit que son disciple, Hippase de Métaponte fut noyé pour en avoir simplement parlé. De toute manière, entre connaître l’existence d’une chose et la comprendre d’un point de vue mathématique, il y avait un pas que le savoir grec ne pouvait franchir.
Pourquoi donc invoquer Pythagore contre toute vraisemblance historique ? Probablement faut-il chercher cette raison dans le choix de l’école pythagoricienne d'utiliser un pentagone comme signe de reconnaissance. Le raisonnement est simple : la géométrie du pentagone exprime le nombre d’or ; donc Pythagore connaissait le nombre d’or ! C'est la définition même du syllogisme…

Par la suite, Euclide releva ce rapport « en extrême et moyenne raison » sans en mesurer la portée. Il aurait fallu qu’il puisse en calculer la valeur algébrique, ce dont l’époque était incapable. Une traduction d’Euclide par le moine géomètre Campanus de Novare fut bien effectuée au XIIIe, mais ses commentaires ne furent publiés qu’en 1409. Le gothique avait vécu.
Bien plus tard, au début du XVIe, le moine Lucas Pacioli di Borgo l’étudie dans son De divina proportione. Pour lui cette proportion géométrique prouve l’existence de Dieu. C’est la genèse de la fameuse « Divine Proportion ».
Au XIXe siècle, c'est au tour du philosophe allemand, Adolf Zeising de s'intéresser à ce rapport. Il lui donne le nom de « section d’or ». Pour lui c'est un système esthétique qu'il va chercher à discerner dans tous les domaines, notamment la biologie et l'architecture.
Mais l’engouement moderne pour ce nombre doit tout au prince Matila Costiesco Ghyka, auteur de l’incontournable Le nombre d’or. Pour ceux qui s'en référent, il forme une proportion esthétique, un message mathématique présidant à toutes les conceptions artistiques et architecturales antiques.

Or la seule chose qui m'importe ici est de savoir si les bâtisseurs médiévaux utilisaient le nombre d'or, car c’est un fait acquis à ce qui nous est régulièrement conté.
Pour contrôler ces dires, j'ai étudié des dizaines de monuments, à l'instar de M. Labouret (dont je vous conseille vivement la lecture). Par exemple, on est censé retrouver cette proportion entre la longueur extérieure et la largeur intérieure du transept de la cathédrale de Strasbourg. C’est là où le bât blesse remarque ce dernier « Tant pis si l'une des deux données inclut l’épaisseur des murs et contreforts et pas l’autre. »
Et, sur ce point, je ne peux que lui donner raison. On ne peut établir un rapport entre un repère situé à l'intérieur d'une structure et un autre situé à l'extérieur. C’est une erreur méthodologique grossière sur laquelle je serai amené à revenir.

Intéressons nous maintenant à la cathédrale de Dol-de-Bretagne. Elle est souvent présentée comme ayant un plan dirigé par des rectangles dorés. Plusieurs études lui sont consacrées. Dans celle que nous allons voir, une construction géométrique a été superposée sur le plan de l'édifice. Elle est constituée de quatre carrés dont deux se chevauchent au niveau du transept qui est ici central (fig. 2).

 

Fig. 2 - Les quatre carrés supposés

Or, si l'on découpe les carrés qui se chevauchent par les lignes du transept on peut obtenir trois rectangles contenant un rapport doré (deux sont formés par la réunion des polygones roses et vert clair, le dernier par les deux carrés centraux). L'ensemble est équivalent à deux tracés symétriques d'un rectangle doré (comme celui de la figure 1), chacun étant effectué dans un double carré (fig. 3). Maintenant, si on fusionne les espaces inutilisés des carrés longs, on obtient la surface du transept et le plan de l'édifice.
Tout cela est fort élégant, et l'on en viendrait à croire que le nombre d'or dirige bien les espaces de cette cathédrale. Il existe pourtant un grand nombre de points gênants dans cette théorie.
En premier lieu, le plan utilisé. Ici, il je l'ai sommairement redessiné pour gagner en lisibilité, mais l'original (voir l'étude) semble être d'une qualité douteuse. C'est un problème récurent dont je parlerai dans quelques pages.
Cause ou conséquence, les carrés posés en prémisses n'en sont pas. Ils sont déformés et n'ont pas exactement la même taille entre eux. Il faudrait pouvoir disposer d'un relevé de bonne qualité pour aller plus loin.
Le second point est l'absence d'un cadre référentiel, d'une méthodologie de travail. En effet, si les lignes verticales des polygones suivent les centres des piliers, les lignes horizontales sont quant à elles alignées sur le mur extérieur pour la partie gauche et sur l'extérieur des piliers pour la partie droite. C'est illogique et rédhibitoire. Le tracé proposé est donc différent de ce qu'il devrait être. En conséquence, les carrés qui n'en étaient déjà pas n'en sont plus du tout, et les proportions dorées s'évanouissent.


Fig. 3 - Les deux tracés dorés symétriques

Il en est de même pour ma tentative de retraçage de la figure 3 qui, basée sur les proportions de l'étude, est totalement fallacieuse. Pour le profane la démonstration peut sembler crédible, mais architecturalement et mathématiquement parlant elle est fausse, tout simplement.
Matila Ghyka ne se serait pas ému de ces incohérences. Il invoquait le « tremblement », le « tâtonnement du vivant », pour justifier le décalage entre ses constructions et les plans.

Il en va de même avec la cathédrale la plus emblématique du style gothique, Notre-Dame de Paris. Ici le nombre d'or est censé apparaître dans les proportions de la façade. Inutile de disposer de plan, le commentaire suffit : « Si on divise la longueur (environ 69 m) de la façade par la largeur de la façade (environ 40 m) on obtient environ le nombre d’or ( environ 1.618 ) ( normalement avec les dimensions données on obtient : 1.725 mais on remarque que c’est un résultat assez proche du Nombre d’Or. Attention ! il faut prendre en compte dans la hauteur les fioritures du toit des tours ). On peut conclure que la façade a été bâtie selon les règles du Nombre d’Or. »
Notons l'obligation de tenir compte des « fioritures » et des nombreux « environs », qui interdisent tout calcul possible. On ne peut donc juger du delta annoncé entre le résultat espéré et le résultat trouvé.

Si l'on en croit l'émission « C'est pas sorcier », les proportions du plan de sol de Paris seraient également dirigées par des rectangles d'or. Il est même assuré que toutes les cathédrales sont construites sur cette proportion.
Pour mettre en évidence cette assertion, le compagnon charpentier Renaud Beyfette a été mis à contribution. Compas en main, on le voit tracer avec virtuosité l'aire de la cathédrale. C'est un rectangle d'or. L'image fait choc et c'est bien le but.

La vidéo démarre directement sur ce passage >>>


Passons sur le fait que la construction utilisée outrepasse l'emprise au sol de la cathédrale et qu'au final, aucune correspondance ne soit faite avec un plan d'architecte. Le point gênant est qu'il m'a été impossible d'obtenir un résultat autre qu'approximatif avec cette méthode. Encore faut-il oublier que l'explication, même exacte, ne résoudrait rien, n'expliquerait rien. Quid des proportions intérieures, de la construction du transept, des rythmes des travées ou du dessin du chevet. Il est curieux qu'un compagnon charpentier de talent, spécialiste des machines de guerre au Moyen âge, propose un tracé spéculatif au lieu de rechercher une solution opérative en accord avec la tradition médiévale.

Même constat en ce qui concerne l’abbaye cistercienne du Thoronet, je cite ici M. Labouret : « en tirant un peu sur les cotes, on interprète le module de base en presque rectangle d’or. Et on met sur les plans réels un certain nombre de figures géométriques qui ne correspondent même pas aux points structurels du monument pour en déduire des cotes correspondant à ce qu’on veut démontrer… »

C’est le fond du problème. « Nul n’entre ici s’il n’est géomètre », était-il écrit au frontispice de l’Académie de Platon. La géométrie et l’architecture sont des sciences et demandent à ce titre un minimum de connaissances et de rigueur, qualités que visiblement beaucoup croient à tort posséder. 
George Jouven, architecte en chef des monuments historiques et spécialiste incontesté de l’arithmologie, nous parle du nombre d’or au XIIIe. Son avis est sans appel : « quoiqu’en puissent faire penser les dessins de Villard de Honnecourt [Le Moyen Âge] l’avait oublié ». Viollet-le-Duc lui-même, dans son chapitre sur les proportions n’en souffle mot. Visiblement l’homme des cathédrales n’a jamais croisé ce rapport, ni Vitruve d’ailleurs ou aucun autre architecte.

Précisons que mon propos n’est pas de faire la guerre au nombre d'or, bien au contraire. Ma seule question est de savoir si la période gothique le connaissait. D'après mes travaux la réponse est clairement négative. Toutefois certains chercheurs ont pu être induits en erreur. Il existe des constructions graphiquement très proches de φ. Un rapport de 5/8 donne 0,625 alors que celui de 3/5 donne 0,6. Ces différences sont presque négligeables d’un point de vue opératif.
Par ailleurs, nous verrons par la suite que certains plans s'organisent sur un double carré, le carré long, dont la diagonale est la racine carrée de cinq. Or ce nombre irrationnel (2,236) n'est rien moins que l'addition de 1.618 + 0,618 soit φ + 1/φ. Il est bien évident que si l'on utilise de simples carrés, ce n'est pas pour exprimer délibérément le nombre d'or, il faut savoir raison garder. Si on le recherche compulsivement, il peut également surgir d'un pentagone ou d'une des nombreuses formes qui le contiennent potentiellement. Mais ce sont des résultats à la marge. Visiblement le nombre d'or n'a pas vocation à diriger un plan gothique. 

Comme l'écrivait le chanoine Charles J. Ledit : « On pourra toujours établir des rapports (dorés ou non) entre deux points quelconques du monument. Une boule de billard, mue par une énergie indéfinie, finira toujours (grâce aux bandes) par toucher les deux autres boules. En tirant assez de lignes entre les points d’un plan, on obtiendra toujours des indications (convaincantes ou non) ». Le mythe du nombre d’or servant à diriger le plan des cathédrales gothiques doit clairement être dénoncé.


N.B. En annexe du livre, figurent des éléments supplémentaires sur les proportions gothiques et le nombre d'or comme la réfutation de l'analyse du professeur Murray sur la cathédrale d'Amiens.